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標(biāo)題: 關(guān)于“時(shí)間常數(shù)”那點(diǎn)事 [打印本頁(yè)]

作者: HWM 時(shí)間: 2009-6-17 08:09
標(biāo)題: 關(guān)于“時(shí)間常數(shù)”那點(diǎn)事
先聲明：所有理論基礎(chǔ)都有出處，在此不加證明。說(shuō)實(shí)在，數(shù)學(xué)那玩意兒不是那么容易從根上加以證明的。就那微積分來(lái)說(shuō)，若不能徹底弄明白“實(shí)數(shù)”是啥東西，基本上說(shuō)所作證明都是徒勞。而要徹底玩轉(zhuǎn)《實(shí)數(shù)論》本身就不是一件容易的事情。

好了言歸正傳，讓我們一步步地來(lái)分析關(guān)于“時(shí)間常數(shù)”那點(diǎn)事。

作者: HWM 時(shí)間: 2009-6-17 08:19
本帖最后由 HWM 于 2009-6-18 09:49 編輯

先給出電阻，電容，電感和電源在S域（拉普拉斯變換）中的表達(dá)方式（在電壓回路方程中）：

電阻：I R
電容：I / (C S) + U0 / S
電感：I L S - L I0
電源：U / S

其中，I 為電流的S域函數(shù)，U 為電源電壓，U0 為電容上的初始電壓，I0 為電感上的初始電流。

作者: HWM 時(shí)間: 2009-6-17 08:24
本帖最后由 HWM 于 2009-6-17 08:38 編輯

現(xiàn)在分兩種情況分析：

一，容感上的初始電壓和電流為零（即初始條件為零），且回路由理想電壓源激勵(lì)。

1）阻容回路

S域方程：

I R + I / (C S) = U / S

其中I為回路電流的S域函數(shù)（拉普拉斯變換），U為所加電源電壓。

由上式解得

I = U C / (R C S + 1)

電容上電壓的S域函數(shù)為

Uc = U / S - I R
= U / S - U R C / (R C S + 1)
= U / (S (R C S + 1))

2）阻感回路

S域方程：

I R + I L S = U / S

其中I為回路電流的S域函數(shù)（拉普拉斯變換），U為所加電源電壓。

由上式解得

I = (U / R) / (S ((L / R) S + 1))

此便是電感上電流的S域函數(shù)。

3）綜合分析

由上可見(jiàn)，其有一個(gè)統(tǒng)一的S域函數(shù)形式：

A / (S (T S + 1))

其中：T為時(shí)間常數(shù)，A為最終極限值

對(duì)于阻容回路而言，T = R C，A = U （考慮的是電壓）

而對(duì)于阻感回路而言，T = L / R，A = U / R （考慮的是電流）

至于S域函數(shù) A / (S (T S + 1)) 的時(shí)域函數(shù)，由下表（拉氏逆變換）：

A (1 - e^(-t/T))

即對(duì)于阻容回路有：

U(t) = U (1 - e^(-t/(RC)))

而對(duì)于阻感回路有：

I(t) = (U / R) (1 - e^(-t/(L/C)))

作者: yewuyi 時(shí)間: 2009-6-17 08:31
呵呵，都像HWM老師這么講課，還怕有學(xué)生聽(tīng)不懂嗎？

作者: HWM 時(shí)間: 2009-6-17 08:37
本帖最后由 HWM 于 2009-6-17 09:21 編輯

二，容感上的初始電壓和電流為非零（即初始條件為非零），且回路無(wú)激勵(lì)（短路）。

1）阻容回路

S域方程：

I R + I / (C S) + U0 / S = 0

其中I為回路電流的S域函數(shù)（拉普拉斯變換），U0為電容上的初始電壓。

由上式解得

I = - (U0 / R) / (S + 1 / (R C))

電容上電壓的S域函數(shù)為

Uc = - I R
= U0 / (S + 1 / (R C))

2）阻感回路

S域方程：

I R + I L S - L I0 = 0

其中I為回路電流的S域函數(shù)（拉普拉斯變換），I0為電感上的初始電流。

由上式解得

I = I0 / (S + R / L)

此便是電感上電流的S域函數(shù)。

3）綜合分析

由上可見(jiàn)，其有一個(gè)統(tǒng)一的S域函數(shù)形式：

A / (S + 1 / T)

其中：T為時(shí)間常數(shù)，A為初始值

對(duì)于阻容回路而言，T = R C，A = U0 （考慮的是電壓）

而對(duì)于阻感回路而言，T = L / R，A = I0 （考慮的是電流）

至于S域函數(shù) A / (S + 1 / T) 的時(shí)域函數(shù)，由下表（拉氏逆變換）：

A e^(-t/T))

即對(duì)于阻容回路有：

U(t) = U0 e^(-t/(R C)))

而對(duì)于阻感回路有：

I(t) = I0 e^(-t/(L/C))

由此可見(jiàn)，所謂時(shí)間常數(shù)只是當(dāng)某物理量變到它的終極值1-1/e（增大）或初始值1/e（減小）倍時(shí)所需要的時(shí)間。

作者: sunny0203050 時(shí)間: 2009-6-17 08:40
S域我已經(jīng)很久沒(méi)看了！前輩講的我有點(diǎn)暈，留個(gè)記號(hào)以后用時(shí)在翻書(shū)看看

作者: HWM 時(shí)間: 2009-6-17 08:49
本帖最后由 HWM 于 2009-6-17 09:04 編輯

最后看一下單諧信號(hào)激勵(lì)的情形（采用富氏變換）：

一，對(duì)于阻容回路來(lái)說(shuō)，可列出下式

Uc = U Zc / (R + Zc)
= U / (1 + j ω R C)

二，對(duì)于阻感回路來(lái)說(shuō)，可列出下式

Il = U / Z
= U / (R + j ω L)
= (U / R) (1 + j ω L / R)

由上可知，當(dāng)頻率分別為 1 / (R C) 和 R / L 時(shí)，Uc 和 Il 分別為其“截止點(diǎn)”，即 1 / (R C) 和 R / L 分別為相應(yīng)回路的截止頻率。這便是所謂“時(shí)間常數(shù)”的真正價(jià)值所在——“截止周期”。

作者: gaohq 時(shí)間: 2009-6-17 09:01
受教了,謝謝HWM老師.

作者: sz_kd 時(shí)間: 2009-6-17 09:16
呵呵，的確一些數(shù)學(xué)變換知識(shí)忘了，在學(xué)校的時(shí)候這些信號(hào)與系統(tǒng)知識(shí)都不在話下~~~~~~~~~~

作者: wb61850 時(shí)間: 2009-6-17 09:49

HWM老師好！

作者: wb61850 時(shí)間: 2009-6-17 09:51
俺想，諸多變幻會(huì)把人搞糊涂。
時(shí)間會(huì)倒流嗎

作者: qupeng2008 時(shí)間: 2009-6-17 09:57
俺理論，時(shí)間被超越就倒流了。。
有點(diǎn)可怕~

作者: HWM 時(shí)間: 2009-6-17 10:07
呵呵，愛(ài)因斯坦就是不小心玩了一下洛倫茲變換，便差點(diǎn)把時(shí)間倒流回去。

作者: 粉絲 時(shí)間: 2009-6-17 10:33
HWM果然理論強(qiáng)，把拉普拉斯和FFT變換拉進(jìn)來(lái)了，把俺嚇得兩腿發(fā)軟啊，大家請(qǐng)安靜，靜靜，要專心聽(tīng)HWM老師授課，哪位還沒(méi)有交學(xué)費(fèi)的趕快補(bǔ)交！

作者: 一朝成名 時(shí)間: 2009-6-17 10:42
聽(tīng)HWM老師講課
那個(gè)學(xué)生在HWM門下，那就幸福死了

作者: chunk 時(shí)間: 2009-6-17 10:49
回“夜無(wú)衣”：還真聽(tīng)不懂。

本來(lái)看樓主貼鼓起點(diǎn)勇氣，再一看沙發(fā)貼：“先給出電阻，電容，電感和電源在S域（拉普拉斯變換）中的表達(dá)方式”，一下氣就泄了。括弧里面只有6個(gè)字，對(duì)我這種底子極薄的菜鳥(niǎo)意味著什么呢？我個(gè)人的知識(shí)體系是支離破碎的，而且“基礎(chǔ)知識(shí)”體系就是破碎的。

作者: HWM 時(shí)間: 2009-6-17 11:17
回 16 樓：

不好意識(shí)，俺的分析讓你疑惑了。

其實(shí)拉普拉斯變換是電路分析中的基礎(chǔ)，雖然人們一般都推崇基氏的方程。但要知道，電路分析在時(shí)域上的直接應(yīng)用是相當(dāng)有限的，因?yàn)槠渲苯右臀⒎址匠檀蚪坏溃鞘窍喈?dāng)困難的事情且不“直觀”。若沒(méi)有各類變換，電路分析（包括信號(hào)分析）決不會(huì)發(fā)展到現(xiàn)今的水準(zhǔn)。因此建議，作為基礎(chǔ)，必須熟悉拉普拉斯變換。此外還有其衍生品——傅立葉變換（對(duì)于周波還有傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)）。

拉普拉斯變換并不難，其有許多相當(dāng)漂亮的特性（篇幅有限不可能意義展開(kāi)），而且S域上面的基氏方程是線性代數(shù)方程，方便求解。

總之，要了解“基礎(chǔ)”，學(xué)好“基礎(chǔ)”，這樣才能得到更好的發(fā)展。

作者: 宇宙飛船 時(shí)間: 2009-6-17 13:42
精通拉普拉斯變換必需先精通微積分原理，HWM老師高深莫測(cè)！暈啊！

作者: fxhfxh 時(shí)間: 2009-6-17 17:10
記號(hào)。

作者: 跟著菜農(nóng)混 時(shí)間: 2009-6-17 20:00
這些東西剛學(xué)沒(méi)多久
無(wú)奈所有與高數(shù)沾邊的，俺都暈，這變換那變換的，都暈

作者: wb61850 時(shí)間: 2009-6-17 20:58
HWM老師說(shuō)的很好，雖然我也有些糊涂，但是還是能夠理解老師的意思

以下個(gè)人理解：
時(shí)間和空間是最基本的了，秒和米是它們的單位

請(qǐng)問(wèn)：有超越時(shí)間和空間的事物嗎？就是說(shuō)，什么客觀事物可以脫離時(shí)間和空間呢？

“時(shí)間常數(shù)”不僅在電子學(xué)中是基本參數(shù)，在其它學(xué)科中也是一項(xiàng)基本參數(shù)。
比方說(shuō)“混凝土工程”高樓大廈哪一個(gè)能離開(kāi)它。而“混凝土”從制拌到凝固到達(dá)到設(shè)計(jì)強(qiáng)度，哪一個(gè)參數(shù)能離開(kāi)時(shí)間呢

所以說(shuō)“時(shí)間常數(shù)”具有普遍的意義

當(dāng)然具體到數(shù)學(xué)上是抽象的，但并不是沒(méi)有意義的。如果離開(kāi)數(shù)學(xué)就不可能有精確的計(jì)算，那么就談不上精確的控制。這就是數(shù)學(xué)的意義吧

作者: 潛艇8421 時(shí)間: 2009-6-17 21:39
通常定義成常數(shù)的東東應(yīng)該不會(huì)太復(fù)雜，不可能會(huì)用到這么復(fù)雜的變換來(lái)定義，極有可能只用初等代數(shù)就搞定的事，俺猜肯定還有什么地方?jīng)]有搞清楚想明白。
聽(tīng)HWM老師講課很容易讓人提起繼續(xù)深造數(shù)學(xué)的興致，只不過(guò)深造數(shù)學(xué)很容易讓人走火入魔的。

作者: wb61850 時(shí)間: 2009-6-18 07:32
理想LR電路的時(shí)間常數(shù)

file:///D:/My

作者: wb61850 時(shí)間: 2009-6-18 07:33
D:\My Documents\001a\LR50.jpg

作者: wb61850 時(shí)間: 2009-6-18 07:37

作者: wb61850 時(shí)間: 2009-6-18 07:46

紅線是電壓；藍(lán)線是電流

作者: wb61850 時(shí)間: 2009-6-18 07:52

電流下沿波形。電流方向沒(méi)變，按指數(shù)規(guī)律單調(diào)下降至零

作者: HWM 時(shí)間: 2009-6-18 07:56
本帖最后由 HWM 于 2009-6-19 07:44 編輯

關(guān)于“時(shí)間常數(shù)”這點(diǎn)事兒實(shí)在是沒(méi)必要再去深究。若真要追究其來(lái)源，那就看下面那堆玩意兒：

e^(-t/T)

看明白了沒(méi)有？那 t 是“時(shí)間”，而那 T 就是“常數(shù)”。合起來(lái)就是“時(shí)間常數(shù)”

若將 T 單獨(dú)拿出來(lái)，那玩意兒啥都不是。其實(shí) T 的作用只是給一個(gè)“衰減”（或阻尼）模型提供一個(gè)時(shí)間因子（通常此類東東稱為常數(shù)），沒(méi)什么特別深?yuàn)W的含義。當(dāng)然，在單諧源激勵(lì)的系統(tǒng)中，時(shí)間常數(shù)恰好是“截止周期”，這是其一個(gè)很好的引深。

在此本人用S域給出阻容和阻感回路的暫態(tài)分析，只是想從一個(gè)更簡(jiǎn)潔而統(tǒng)一的路經(jīng)給出兩種回路的“時(shí)間常數(shù)”表達(dá)式。其實(shí)這些概念和用什么變換或根本不用變換（直接時(shí)域求解）沒(méi)啥關(guān)系，只是一個(gè)途徑而已。

也許會(huì)有人提出疑問(wèn)，為何“衰減”（或阻尼）模型要長(zhǎng)成這副模樣（e^(-t/T)）？
這請(qǐng)先看一下其相應(yīng)的微分方程（一階線性）所對(duì)應(yīng)的物理模型。若實(shí)在搞不明白，那只能問(wèn)上帝或自然了，誰(shuí)叫e是一個(gè)“自然常數(shù)”呢。

作者: wb61850 時(shí)間: 2009-6-18 07:56

把R1變?yōu)?0歐（等效Ｌ的電阻）

作者: wb61850 時(shí)間: 2009-6-18 08:02

電流上升時(shí)間變長(zhǎng)了

作者: wb61850 時(shí)間: 2009-6-18 08:05

下沿時(shí)間也變長(zhǎng)了

作者: wb61850 時(shí)間: 2009-6-18 08:07
HWM老師說(shuō)的好啊，有的事只好問(wèn)“上帝”了

作者: wb61850 時(shí)間: 2009-6-18 08:08
向HWM老師致敬

作者: 粉絲 時(shí)間: 2009-6-18 22:03
看HWM的標(biāo)題，還以為一語(yǔ)道破天機(jī)！靠！現(xiàn)在搞到俺一把年紀(jì)還要精通微積分才能領(lǐng)會(huì)樓主的玄機(jī)！累呀！救命呀！哪位打救一下老夫！

作者: wb61850 時(shí)間: 2009-6-18 22:36
HWM老師說(shuō)的已經(jīng)很明白了啊，只是LS沒(méi)有打好基礎(chǔ)吧

俺自學(xué)高數(shù)用了將近三年，也不敢說(shuō)搞清楚了

作者: 粉絲 時(shí)間: 2009-6-18 23:47
樓主真強(qiáng)！
俺只有以下這些基礎(chǔ)，請(qǐng)問(wèn)能學(xué)懂微積分嗎？
1+1=2
2+2=4
1*1=1
2*2=4
(-a)*(-a)=a^2
(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2
a-(b-c)=a-b+c
a/b =a*(1/b)
(a)^(m/n)=(a^m ) ^(1/n)=sart(n)(a^m)

作者: HWM 時(shí)間: 2009-6-19 08:30
關(guān)于“時(shí)間常數(shù)”的那點(diǎn)事，忍不住最后再啰嗦幾句。

其實(shí)這點(diǎn)事的起因是有人想探究阻感回路的“時(shí)間常數(shù)”，這是件好事。原本只是在那里插了一句而不想過(guò)多發(fā)揮，畢竟那玩意兒早在二十幾近三十年前就早已明了的事情，激不起興趣來(lái)。后來(lái)看著看著發(fā)現(xiàn)“話有些大”，便忍不住另開(kāi)一帖論之。

其實(shí)討論“RC”和“L/R”是如何來(lái)的離不開(kāi)“時(shí)間常數(shù)”的原始定義，問(wèn)題是那玩意兒是否存在“獨(dú)立”的定義呢？沒(méi)有！要說(shuō)最簡(jiǎn)單的定義形式便是“t/T”，要求其是一個(gè)無(wú)量綱表達(dá)式，為此必須配備一個(gè)量綱為時(shí)間的因子——此乃“時(shí)間常數(shù)”。相對(duì)應(yīng)的，在S域，也存在這樣的表達(dá)式——T S（1/S的量綱為時(shí)間）。因此，所謂要求解特定情況下的時(shí)間常數(shù)，無(wú)非是求得“t/T”或“T S”中的T是如何表示的，問(wèn)題就那么簡(jiǎn)單。

另外電路分析是否要用到微積分，這有點(diǎn)類似于問(wèn)出門是否要用到腳一樣無(wú)聊。原本人們出門是必須要用到腳的，但現(xiàn)在好象在很多場(chǎng)合下都“部分”不需要了，那是技術(shù)的進(jìn)步。電路那玩意兒也一樣，就看你技術(shù)掌握得如何了。

最后強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)的是，我們所在的世界似乎本原就是“微積分”所構(gòu)造。那些所謂非“微積分”的東東其實(shí)只是他的特例而已，就如三角形的面積。

作者: 粉絲 時(shí)間: 2009-6-19 11:02
本帖最后由粉絲于 2009-6-19 11:13 編輯

HWM教授級(jí)的理論的確是強(qiáng)，不得不佩服！
能否幫大家解釋一下以下數(shù)學(xué)符號(hào)的邏輯意義？
(-a)*(-a)=a^2
(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2
a-(b-c)=a-b+c
a/b =a*(1/b)
(a)^(m/n)=(a^m ) ^(1/n)=sqrt(n)(a^m) //sqrt(n) 開(kāi)根號(hào)n 次方 .

作者: HWM 時(shí)間: 2009-6-19 11:21
哈哈，僅就第一個(gè)式子給你答復(fù)，其他自己領(lǐng)會(huì)：

(-a)*(-a)=a^2

它的邏輯就是左一個(gè)嘴巴子，再右一個(gè)嘴巴子。否則頭會(huì)歪掉的。

作者: 粉絲 時(shí)間: 2009-6-19 11:36
暈！老夫一口氣寫(xiě)了這么多，才學(xué)了這么一點(diǎn)東西？
HWM 教授就開(kāi)個(gè)價(jià)，多多錢俺都出得起，只要教授能幫俺解開(kāi)以上的凝團(tuán)！

作者: 宇宙飛船 時(shí)間: 2009-6-19 12:00
發(fā)表于半小時(shí)前 | 只看該作者本帖最后由粉絲于 2009-6-19 11:13 編輯
HWM教授級(jí)的理論的確是強(qiáng)，不得不佩服！
能否幫大家解釋一下以下數(shù)學(xué)符號(hào)的邏輯意義？
(-a)*(-a)=a^2
(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2
a-(b-c)=a-b+c
a/b =a*(1/b)
(a)^(m/n)=(a^m ) ^(1/n)=sqrt(n)(a^m) //sqrt(n) 開(kāi)根號(hào)n 次方 .
//----------------------------------------------------------------
佩服一下粉絲這種鉆牛角尖的精神。

作者: 潛艇8421 時(shí)間: 2009-6-19 15:01
呵呵，粉絲提出的問(wèn)題都是小學(xué)生應(yīng)撐握的技倆！教授們當(dāng)然不稍一顧了。
哪位自認(rèn)為是精通微積分的，大可解釋一下？俺來(lái)幫你們打分，看看誰(shuí)有數(shù)學(xué)潛質(zhì)！

作者: 宇宙飛船 時(shí)間: 2009-6-19 21:37
看來(lái)不懂裝懂的人還是挺多的！粉絲那幾道看似簡(jiǎn)單的題目，已經(jīng)包含了初等代數(shù)的所有基礎(chǔ)，也是精通微積分的必備基礎(chǔ)，想自學(xué)精通微積分的，好好把它慘悟透。
//---------------------------------
俺最喜歡李白的一句話：
黃河之水天上來(lái)，奔流到海不復(fù)回。
哈哈哈。。。。。

作者: 粉絲 時(shí)間: 2009-6-20 00:38
看來(lái)還是不考大學(xué)好，免得白交學(xué)費(fèi)呀！

作者: ilonely 時(shí)間: 2010-12-19 15:43
這個(gè)嘛，能看懂最好，，最好是碩士看

作者: 陳小東 時(shí)間: 2011-2-7 22:41
唉~

作者: 陳小東 時(shí)間: 2011-2-7 22:42
唉~

作者: fymbl 時(shí)間: 2011-2-25 23:13
牛人。。。。。。。。

作者: ticktime 時(shí)間: 2011-3-15 11:39
基本定義

如果定義：

* f(t)\,是一個(gè)關(guān)于t\,的函數(shù)，使得當(dāng)t<0\,時(shí)候，f(t)=0\,；
* s\, 是一個(gè)復(fù)變量；
* \mathcal{L} 是一個(gè)運(yùn)算符號(hào)，它代表對(duì)其對(duì)象進(jìn)行拉普拉斯積分\int_0^\infty e^{-st}\,dt；F(s)\,是f(t)\,的拉普拉斯變換結(jié)果。

則f(t)\,的拉普拉斯變換由下列式子給出：

F(s)\,=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int_{0}^\infty f(t)\,e^{-st} \,dt

[編輯] 雙邊拉普拉斯變換

除了普遍使用的單邊拉普拉斯變換外，雙邊拉普拉斯變換是將單邊變換積分范圍擴(kuò)大為整個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)域：

F(s)\,=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int_{-\infty}^\infty f(t)\,e^{-st} \,dt

[編輯] 拉普拉斯逆變換

拉普拉斯逆變換，是已知F(s)\,，求解f(t)\,的過(guò)程。用符號(hào) \mathcal{L}^{-1}\,表示。

拉普拉斯逆變換的公式是：

對(duì)于所有的t>0\,；
f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\} =\frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty} F(s)\,e^{st} \,ds

c\,是收斂區(qū)間的橫座標(biāo)值，是一個(gè)實(shí)常數(shù)且直線Re(s) = c處在F(s)的收斂域內(nèi)。
[編輯] 拉普拉斯變換的存在性

主條目：拉普拉斯變換的存在性

關(guān)于一個(gè)函數(shù)f(t)\,的拉普拉斯變換，只有在拉普拉斯積分是收斂的情況下才存在。也就是說(shuō)，f(t)\,必須是在對(duì)于t>0\,的每一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)都是片斷性連續(xù)的，且當(dāng)t\,趨于無(wú)窮大的時(shí)候，f(t)\,是指數(shù)階地變化。

[編輯] 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)

* 線性疊加

\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}

* 微分

\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)
\mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)
\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)

* 時(shí)域

\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)

* 頻域

\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma
\mathcal{L} \left\{\frac{f(t)}{t^n}\right\} = \int_s^{\infty} \int_{\sigma_1}^{\infty} \cdots \int_{\sigma_{n-1}}^{\infty} F(\sigma_{n}) \, d\sigma_{n} \cdots \, d\sigma_2 \, d\sigma_1

* 積分

\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\} = \mathcal{L}\left\{ 1 * f(t)\right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}

* 初始值定理

f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}

* 終值定理

f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)}　，所有極點(diǎn)都在左半復(fù)平面。
終值定理的實(shí)用性在于它能預(yù)見(jiàn)到系統(tǒng)的長(zhǎng)期表現(xiàn)，且避免部分分式展開(kāi)。如果函數(shù)的極點(diǎn)在右半平面，那么系統(tǒng)的終值是不定義的(例如：e^t\, 或 \sin(t)\,)。

* s 移動(dòng)

\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s - a)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{at} f(t)

* t 移動(dòng)

\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) u(t - a)
注: u(t)\, 表示階躍函數(shù).

* n次冪移動(dòng)

\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]

* 乘積

\mathcal{L} \left\{f(t)g(t)\right\} = \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(\sigma)G(s-\sigma)\,d\sigma \ 　，c\,是收斂區(qū)間的橫坐標(biāo)值，是一個(gè)實(shí)常數(shù)且大于所有F(\sigma)\,的個(gè)別點(diǎn)的實(shí)部值。

* 卷積

\mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}

[編輯] 變換簡(jiǎn)表
原函數(shù)
f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\} 轉(zhuǎn)換后函數(shù)
F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} 收斂區(qū)域
\delta(t) \ 1 \ \mathrm{all} \ s \,
\delta(t-\tau) \ e^{-\tau s} \
u(t) \ { 1 \over s } s > 0 \,
u(t-\tau) \ { e^{-\tau s} \over s } s > 0 \,
t \cdot u(t)\ \frac{1}{s^2} s > 0 \,
e^{-\alpha t} \cdot u(t) \ { 1 \over s+\alpha } s > - \alpha \
( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \ \frac{\alpha}{s(s+\alpha)} s > 0\
\sin(\omega t) \cdot u(t) \ { \omega \over s^2 + \omega^2 } s > 0 \
\cos(\omega t) \cdot u(t) \ { s \over s^2 + \omega^2 } s > 0 \
\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \ { \alpha \over s^2 - \alpha^2 } s > | \alpha | \
\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \ { s \over s^2 - \alpha^2 } s > | \alpha | \
e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \ { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } s > -\alpha \
e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \ { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } s > -\alpha \
{ t^n \over n! } \cdot u(t) { 1 \over s^{n+1} } s > 0 \,
\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) \frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}} s > - \alpha \,
\sqrt[n]{t} \cdot u(t) s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right) s > 0 \,
\ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t) - { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ] s > 0 \,
J_n( \omega t) \cdot u(t) \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}} s > 0 \,
(n > -1) \,
I_n(\omega t) \cdot u(t) \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}} s > | \omega | \,
Y_0(\alpha t) \cdot u(t) -{2 \sinh^{-1}(s/\alpha) \over \pi \sqrt{s^2+\alpha^2}} s > 0 \,
K_0(\alpha t) \cdot u(t)
\mathrm{erf}(t) \cdot u(t) {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s} s > 0 \,
[編輯] 與其他變換的聯(lián)系

* 與傅里葉變換關(guān)系

令s = iω or s = 2πfi, 有：

\begin{align} \hat{f}(\omega) & = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} \\[1em] & = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i\omega} = F(s)|_{s = i \omega}\\[1em] & = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrmxbjgcsqt.\\ \end{align}

* 與z變換的聯(lián)系

z 變換表達(dá)式為：

X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}

其中 z \leftarrow e^{s T} \ . 比較兩者表達(dá)式有：

X_q(s) =  X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.

[編輯] 在工程學(xué)上的應(yīng)用

應(yīng)用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數(shù)方程，使問(wèn)題得以解決。在工程學(xué)上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個(gè)信號(hào)從時(shí)域上，轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域（s域）上來(lái)表示，對(duì)于分析系統(tǒng)特性，系統(tǒng)穩(wěn)定有著重大意義；在線性系統(tǒng)，控制自動(dòng)化上都有廣泛的應(yīng)用。

作者: ticktime 時(shí)間: 2011-3-15 11:52
剛剛在文檔里面復(fù)制出來(lái)的好像有些問(wèn)題，在這里貼上PDF檔。希望能對(duì)大家有所幫助

拉普拉斯變換.pdf

231.98 KB, 下載積分: 積分 -1

作者: xdj0317 時(shí)間: 2011-3-17 08:42
太深?yuàn)W了。

作者: spy007868 時(shí)間: 2013-10-28 08:01
全部復(fù)制下來(lái)！！！！！！！！！我自己好好學(xué)習(xí)！！！！！！！！！！！！！！！

謝謝.jpg (8.65 KB)

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