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摘要：在信號分析時，我們一般會截取有限的波形數據做傅里葉變換，這個截斷過程會產生泄漏，導致功率擴散到整個頻譜范圍，產生大量“霧霾數據”，無法得到正確的頻譜結果。雖然知道加窗可以抑制泄漏，但復雜的窗函數表達式及抽象的主瓣旁瓣描述方法，另人更加迷惑，下面我們拋棄公式用通俗易懂的方式介紹窗函數的選擇。 1.加窗與窗函數 在數字信號處理中，常見的有矩形窗、漢寧窗、海明窗和平頂窗，這里不再贅述窗函數的表達式，只討論窗函數的使用，下圖直觀地描述了信號加窗的過程及窗函數基本特征。 圖 1 信號加窗后頻率普圖 直觀地，在時域上看，加窗其實就是將窗函數作為調制波，輸入信號作為載波進行振幅調制(簡稱調幅)。矩形窗對截取的時間窗內的波形未做任何改變，即只是截斷信號原樣輸出。而其它三種窗函數都將時間窗內開始和結束處的信號調制到了零。 更普遍地，絕大部分窗函數形狀都具有類似從中間到兩邊逐漸下降的形狀，只是下降的速度等細節上有所區別。這個特征體現了加窗的目的——降低截斷引起的泄漏，所有窗函數都是通過降低起始和結束處的信號幅度，來減小截斷邊沿處信號突變產生的額外頻譜。 2.窗函數的選擇 從圖 1中很明顯看出，加窗后信號時域的變化顯著，由于后續的處理一般是進行傅里葉變換，所以我們主要分析加窗對傅里葉變換結果的影響。傅里葉變換后主要的特征有頻率、幅值和相位，而加窗對相位的影響是線性的，所以一般不用考慮，下面討論對頻率和幅值的影響。 加窗對頻率和幅值的影響是關聯的，首先需要記住一個結論：對于時域的單個頻率信號，加窗之后的頻譜就是將窗譜的譜峰位置平移到信號的頻率處，然后進行垂直縮放。說明加窗的影響取決于窗的功率譜，再結合上圖 1中最后一列窗函數的功率譜，容易理解其它介紹文章中常看到的對窗特征的主瓣、旁瓣等的描述。 再來看窗函數的功率譜，從上到下，窗函數的主峰(即主瓣)越來越粗，兩邊的副峰(即旁瓣)越來越少，平頂窗的名稱也因主瓣頂峰較平而得名。主瓣寬就可能與附近的頻率的譜相疊加，意味著更難找到疊加后功率譜中最大的頻率點，即降低了頻率分辨率，較難定位中心頻率。旁瓣多意味著信號功率泄露多，主瓣被削弱了，即幅值精度降低了。 有了規律，窗函數的使用就簡單多了。在需要頻率分辨率高時，使用旁瓣少的窗口，如漢寧窗，而矩形窗旁瓣太多，泄漏太大，無法抑制泄漏;在需要幅值準確時，可以使用平頂窗。當然，對于一次過程時間小于窗口的暫態信號或沖擊波形，信號開始和結束處本身就是零，不存在截斷引起的泄露，不需要加窗抑制，因此只需要用矩形窗即可。對于連續的周期性波形，可以結合不同的窗口獲得所關注的結果。 注：那么能不能設計一種完美的窗函數，只有主瓣沒有旁瓣，且主瓣窄到只有一根柱子呢?答案是否定的。主瓣窄和旁瓣少就像蹺蹺板的兩端，壓下一遍就會翹起另一邊，是不可調和的。 |
