|
混沌是指確定的宏觀的非線性系統(tǒng)在一定條件下所呈現(xiàn)的不確定的或不可預(yù)測的隨機現(xiàn)象，是非線性動力系統(tǒng)所特有的一種復(fù)雜動力系統(tǒng)，混沌理論是20世紀(jì)繼相對論和量子力學(xué)之后的第三次科學(xué)革命。自20世紀(jì)60年代Lorenz在一個三維自治系統(tǒng)首次發(fā)現(xiàn)混沌吸引子以來，混沌的研究者越來越多，使得混沌理論得到了迅速發(fā)展。特別是20世紀(jì)90年代計算機科學(xué)的運用和發(fā)展以來，人們對混沌的認(rèn)識逐漸加深，其中代表性的有1999年陳關(guān)榮等發(fā)現(xiàn)的混沌吸引子Chen系統(tǒng)，2002年呂金虎等進一步發(fā)現(xiàn)的Lü系統(tǒng)以及2004年劉崇新等提出的三維自治系統(tǒng)。 近年來，研究者構(gòu)造了許多超混沌系統(tǒng)，但對只含有一個非線性項的超混沌系統(tǒng)的研究不多，對這種超混沌系統(tǒng)的控制的研究更少。本文首先構(gòu)造了一個只有一個非線性項的四維超混沌系統(tǒng)，對其進行了復(fù)雜的動力學(xué)分析，同時，給出了此超混沌系統(tǒng)的電路實現(xiàn)原理圖，用Multisim電路仿真軟件進行了仿真實驗，證實了混沌系統(tǒng)的存在性。 1 新超混沌系統(tǒng)的分析 1.1 超混沌系統(tǒng)數(shù)據(jù)模型 混沌是非線性動力系統(tǒng)所特有的復(fù)雜動力系統(tǒng)，而含有非線性項是非線性動力系統(tǒng)的必要條件，故非線性項對能否出現(xiàn)混沌起著至關(guān)重要的作用。構(gòu)造出的只含有一個非線性項的新四維動力系統(tǒng)方程式為： 其中a=0.58，其他所有狀態(tài)變量均為實數(shù)。可見系統(tǒng)(1)只有一個非線性項，通過Matlab仿真得到其三維相圖及各平面相圖如圖1～圖4所示。 觀察圖1～圖4的相軌跡圖可以推測系統(tǒng)(1)可能具有混沌的動力學(xué)特征。 1.2 系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù) Lyapunov指數(shù)是定量描述混沌吸引子的相鄰軌線收縮或擴張的量，混沌系統(tǒng)和超混沌系統(tǒng)很難區(qū)分,可以通過系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)來區(qū)分。由參考文獻可知，對于一個四維自治的系統(tǒng),在它的4個Lyapunov指數(shù)中，當(dāng)最大Lyapunov指數(shù)為零，其他Lyapunov指數(shù)為負(fù)時，系統(tǒng)是周期的；當(dāng)2個最大的Lyapunov指數(shù)都為零，其他Lyapunov指數(shù)為負(fù)時,系統(tǒng)是偽周期的；當(dāng)最大的Lyapunov指數(shù)為正，其他3個Lyapunov指數(shù)中有1個為零，其余為負(fù)時，系統(tǒng)是混沌的；當(dāng)有2個最大的Lyapunov指數(shù)為正，其他2個Lyapunov指數(shù)中有1個為零，有1個為負(fù)時，系統(tǒng)是超混沌的。運用Matlab計算出系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)，當(dāng)t→∞時，系統(tǒng)(1)的4個Lyapunov指數(shù)為：λL1=0.101 4，λL2=0.014 0，λL3=0，λL4=-0.646 2。由此可知系統(tǒng)(1)是一個超混沌動力系統(tǒng)。 1.3 超混沌系統(tǒng)Poincare映射圖 Poincare映射是一種經(jīng)典的分析動力系統(tǒng)的技術(shù)，可以通過Poincare截面上截點的情況判斷是否發(fā)生混沌：當(dāng)Poincare截面上有且僅有一個不動點或少數(shù)離散點時，運動是周期的；當(dāng)Poincare截面上是一封閉曲線時，運動是準(zhǔn)周期的；當(dāng)Poincare截面上是一些成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點時，運動是混沌的。系統(tǒng)（1）在z=0截面的Poincare映射圖如圖5所示。 從圖5中可以觀察到截面上是一些成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點，可以明確知道系統(tǒng)是混沌的，從而也驗證了1.2中的判斷。 2 系統(tǒng)混沌模型電路仿真 對超混沌系統(tǒng)(1)的電路進行了詳細(xì)推導(dǎo)，得到超混沌的電路數(shù)學(xué)模型為： 該超混沌系統(tǒng)的實現(xiàn)電路如圖6所示。 分別在輸出端口處接入示波器，得到系統(tǒng)對應(yīng)圖2～圖4各相面的仿真相圖，如圖7(a)～圖7(c)所示。 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，圖7(a)～圖7(c)與圖2～圖4各相面的Matlab仿真圖一致。 本文構(gòu)造了一個四維只含一個非線性項的動力系統(tǒng)，對該系統(tǒng)的相軌跡圖、Poincare映射圖、Lyapunov指數(shù)等復(fù)雜動力學(xué)特征進行分析和電路仿真實驗驗證，證實了只含一個非線性項超混沌系統(tǒng)的存在性。 |
